Rozpatrzmy model opisujący ruch płaski (czyli dwuwymiarowy) punktu materialnego o masie \( m, \) podwieszonego na nierozciągliwej nici długości \( L, \) w polu grawitacyjnym. Model fizyczny przedstawiony jest na Rys. 1.

Na punkt materialny działa siła grawitacyjna \( F_{gr}=m\cdot g \) skierowana w dół oraz siła naciągu nici \( T \), która w każdej chwili rekompensuje współrzędną podłużną siły grawitacji (warunek nierozciągliwości nici). Siłą wypadkową działającą na punkt materialny jest wówczas składowa poprzeczna siły grawitacji, wynosząca \( m\cdot g\cdot \sin{x} \), gdzie \( x \) oznacza kąt odchylenia nici od pionu. Punkt materialny porusza się wzdłuż okręgu o promieniu \( L \); jego prędkość i przyspieszenie wynoszą odpowiednio \( L \dot x(t) \) i \( L \ddot x(t) \). Zgodnie z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki Newtona, równanie ruchu ma postać

Znak minus w prawej stronie wzoru odzwierciedla to, że siła poprzeczna, skierowana ku położeniu równowagi wahadła przeciwdziała wzrostowi kąta odchylenia.
Napiszmy równanie ruchu w postaci:

W przypadku gdy \( |x|<<1 \) (relacja \( |x|<<1 \) oznacza, że wartość bezwzględna \( x \) jest znacznie mniejsza od jedynki), \( \sin{x} \) można zastąpić funkcją \( x \). Wówczas otrzymamy dobrze znane równanie liniowe, opisujące małe drgania punktu wokół położenia równowagi:

Ogólne rozwiązanie równania ( 2 ) dane jest wzorem \( x(t)=A\,\sin{(\omega \, t +\phi)} \). Poniżej przedstawiamy analizę zbioru rozwiazań równania ( 1 ). Ponieważ rozwiązań tych nie można opisać dokładnie poprzez funkcje elementarne, do ich analizy stosuje się metody jakościowe.

Napiszmy równanie ( 1 ) w postaci równoważnego układu równań rzędu pierwszego:

Dowód przeprowadza się bezpośrednim sprawdzeniem.

Dowód wynika z niezmienniczości funkcji Hamiltona względem odbić \( x\rightarrow -x, \) \( y\rightarrow -y \) oraz okresowości funkcji \( cos x \).
Przypomnijmy sobie, że każdą trajektorię fazową układu hamiltonowskiego można przedstawić w postaci \( H(x,\,y)=C, \) przy pewnej stałej \( C \). Trajektorie układu (3) są symetryczne względem odbić od obu osi współrzędnych. Ponadto, na mocy trzeciej własności funkcji \( H \), wystarczy przeanalizować przebieg trajektorii fazowych na odcinku \( (-\pi,\,\,\pi) \) i dalej przedłużyć je na kolejne sąsiadujące ze sobą odcinki krotności \( 2\,\pi \).

Wszystkie punkty stacjonarne układu (3) leżą na osi poziomej. Współrzędna \( x \) punktu stacjonarnego należy do zbioru \( \left\{0,\,\pm \pi,\,\pm 2\,\pi,...,\pm\,k\,\pi,...\right\} \) \( \left\{0,\,\pm \pi,\,\pm 2\,\pi,...,\pm\,k\pi,...\right\}, k\in\ N \). Typy poszczególnych punktów stacjonarnych określa zachowanie funkcji

opisującej energię potencjalną układu. Z wykresu tej funkcji, przedstawionego na Rys. 2 odczytujemy że punkty stacjonarne o współrzędnych \( (\pm 2\,k\,\pi,\,\,0) \) są środkami, wtedy gdy punkty stacjonarne o współrzędnych \( \left(\pm ( 2\,k+1)\,\pi,\,\,0\right) \) są siodłami.

Fragment portretu fazowego układu (3) jest przedstawiony na Rys. 3.

Fragmenty, nie pokazane na przedstawionym rysunku, uzyskuje się przeniesieniem portretu odpowiadającego odcinkowi \( (-\pi,\,\,\pi) \) o \( 2\,\pi \) w lewo i w prawo. Zauważmy że trajektoriom zamkniętym (oznaczonym kolorem niebieskim) odpowiadają nieliniowe rozwiązania okresowe, trajektoriom łączącym siodła (oznaczonym kolorem czerwonym) - rozwiązania heterokliniczne, trajektoriom leżacym poniżej lub powyżej heteroklinik (oznaczonym kolorem zielonym) - rozwiazania nieograniczone względem współrzędnej \( x \).